Votación por mayoría. Más de dos posibilidades: paradoja de Condorcet

En el caso anterior se analizaron las propiedades del MMD cuando las alternativas se reducen a dos. Los resultados fueron muy atractivos, ya que se cumplían una serie de propiedades por mucho interesantes, y no existían problemas de incompletitud (en el MMD nunca surge este inconveniente) ni de intransitividad.

En el caso que se presentará a continuación se verá que si el número de alternativas es mayor que dos, el MMD puede llevar a intransitividades para alguna configuración de preferencias individuales.

Veamos el siguiente ejemplo, donde se especifican las preferencias de tres individuos sobre tres estados sociales:

Individuo A:

Individuo B:

Individuo C:

Si comparamos las alternativas de a pares observamos que socialmente ya que así lo prefieren los individuos A y B, debido a los votos de los individuos A y C, y a su vez resulta que por voluntad de B y C. En conclusión, las preferencias sociales que surgen de seguir el MMD para ésta configuración de preferencias arroja resultados cíclicos que violan la transitividad, ya que se obtiene que socialmente .

Este fenómeno es conocido como la ‘paradoja de Condorcet', y muestra cómo la aplicación del MMD en preferencias individuales consistentes puede llevar a inconsistencias a nivel agregado.

Este problema resulta fundamental, ya que de tener lugar estas preferencias cíclicas, quien controle la agenda de votación podrá definir el ganador. Para el ejemplo brindado, quien no se presente en primera ronda ganará en la segunda.

Podría argumentarse que el resultado se desprende de la configuración de preferencias seleccionada, que es un caso particular rebuscado a los efectos de lograr intransitividades agregadas. Que si bien es posible que surjan ciclos (con lo cual ya se ve la incompatibilidad de la transitividad con la condición U), la probabilidad de que la configuración de preferencias individuales arroje preferencias sociales cíclicas es insignificante. En este sentido Sen resume una serie de trabajos que investigan sobre la posibilidad de que no exista un ganador de Condorcet, es decir, una alternativa que venza a cualquier otra alternativa mediante una votación por mayoría. Efectuando una serie de suposiciones acerca de la distribución de probabilidad de las preferencias entre los individuos de la sociedad , para casos donde existe únicamente relaciones de preferencia estricta, se llega a las conclusiones descritas en el siguiente cuadro:

Tabla 1

Probabilidad de que no haya Ganador de Condorcet para el caso de 3 alternativas
Número de personas	Probabilidad	Número de personas	Probabilidad
1	0.0000	17	0.0827
3	0.0556	19	0.0832
5	0.0694	21	0.0836
7	0.0750	23	0.0840
9	0.0780	25	0.0843
11	0.0798	...	...
13	0.0811	¥	0.0877
15	0.0820

Fuente: A. K. Sen, ‘Collective Choice and Social Welfare' , North-Holland, 1970

 

Como se llega a observar, la probabilidad resulta relativamente pequeña y poco sensible al número de votantes. Sin embargo, cuando se incrementa el número de alternativas observamos resultados un tanto más alarmantes que los de la tabla 1:

Tabla 2

Probabilidad de que no haya Ganador de Condorcet para el caso de muchas personas
Número de alternativas	Probabilidad	Número de alternativas	Probabilidad
1	0.0000	20	0.6811
2	0.0000	25	0.7297
3	0.0877	30	0.7648
4	0.1755	35	0.7914
5	0.2513	40	0.8123
10	0.4887	45	0.8292
15	0.6087

Fuente: A. K. Sen, ‘Collective Choice and Social Welfare' , North-Holland, 1970

 

Como se observa en ésta segunda tabla, el problema de intransitividad resulta muy sensible al número de alternativas disponibles.

Igualmente, y para desdramatizar éstos resultados, Sen aclara que en buen grado se deben al cuestionable supuesto de ‘equiprobabilidad'. No es mi objetivo adentrarme en el cálculo de probabilidades de que las preferencias sociales resulten intransitivas. Sin embargo considero interesante mostrar, al menos descriptivamente, la posible importancia del problema de preferencias intransitivas.

Una forma de enmendar el MMD para que no produzca ciclos parece ser, a primera vista, asociar a cada alternativa un número acorde a la posición que ocupe en su orden de preferencias individuales. Luego se suman los valores individuales para cada alternativa. El que obtiene el mayor número es la más preferida. En caso de igualdad, se declara la indiferencia social. Para el ejemplo antes propuesto:

Individuo A:

Individuo B:

Individuo C:

La suma de los valores individuales arroja el siguiente ordenamiento social: Observemos aquí que no se da un patrón cíclico, es Pareto-inclusiva, es anónima, cumple la condición S, cumple la condición U. Sin embargo se puede ver fácilmente que la relación entre dos elementos, digamos , no es independiente de otras alternativas irrelevantes. Por ende viola la condición I que se definirá más adelante, y a su implicando lógico, la condición N antes definida. Imaginemos el caso en el que el individuo C cambia su valoración de , considerándola peor que las otras dos. En vista de la condición N, éste cambio no debería tener ningún efecto en la relación de preferencia social entre e . Veamos que sucede:

Individuo A:

Individuo B:

Individuo C:

Esta vez, la suma de los valores individuales arroja el siguiente ordenamiento social:

; ; .

Como se observa, el cambio de la relación de preferencia entre y tiene efectos sobre el ordenamiento social de las alternativas e , violando la condición I (y la N).

Sen, Amartya K., op. cit., capítulo 10.

El supuesto más simple empleado, y en base al cual se basan los números aquí expuestos, es aquel en el que cualquier preferencia tiene igual probabilidad para cada individuo. Es decir, ignora cualquier tipo de ‘cultura de clase'. Sen da un ejemplo de lo absurdo que puede resultar este supuesto al decir que ante dos alternativas, que a él lo decapiten o lo dejen vivir, la probabilidad de que él prefiera una a la otra es exactamente un medio!!