Sea la función de utilidad tipo multiplicativa* de un consumidor representativo:
* Esta función es conocida como la función Cobb-Douglas en honor a dos economistas que la usaron para efectuar investigaciones económicas. Esta función es usada normalmente en la función de producción para efectuar análisis siguiendo la teoría del crecimiento.
U = Xa Yb
y su restricción presupuestal:
I = X Px + Y Py
Si se simulan datos hipotéticos de una función de utilidad Cobb – Douglas en una hoja de cálculo obtenemos el gráfico de arriba donde se pueden apreciar una serie de curvas de indiferencia utilizando la función y parámetros que se señalan en el mismo gráfico y las respectivas cantidades de los bienes “X” e “Y”.
Continuando con el análisis y dado el principio del consumo óptimo, tenemos que:
( ∂U / ∂X ) / ( ∂U / ∂Y ) = Umgx / Umgy = Px / Py
y aplicando este principio a la función de utilidad anterior, tenemos que:
aX a-1Yb / bXa Yb-1 = Px / Py
resolviendo
aY/bX = Px/Py
y reemplazando en la restricción presupuestal, obtenemos la función de la demanda de ambos bienes:
X=[a/(a+b)](I / Px)
Y=[b/(a+b)](I / Py)
si efectuamos algunos arreglos:
X.Px/I = a/(a + b)
Y.Py/I = a/(a + b)
observamos que la proporción del gasto de cada uno de los bienes respecto al ingreso nominal depende de los coeficientes “a” y “b”. Es decir, la proporción del gasto del bien “X”, es igual que la proporción del coeficiente “a” respecto a la suma de los coeficientes “a “ y “b”; y la proporción del gasto del bien “Y”, es igual que la proporción del coeficiente “b” respecto a la suma de los coeficientes “a “ y “b”
Si los coeficientes “a” y “b” suman la unidad, entonces las proporción del gasto de “X” e “Y” es igual al coeficiente “a” y “b”, respectivamente.
Las funciones inversas de la demanda serán las siguientes:
Px = a/(a+b) I/X
Py = b/(a+b) I/Y
si derivamos ambas funciones, tenemos que:
dPx/dx= -a/(a+b) (I/X2)
dPy/dy= -b/(a+b) (I/Y2)
dichas ecuaciones nos dan la información que las curvas de demanda tiene pendiente negativa; y las segundas derivadas:
d2Px / dx2 = 2a/(a+b) (I/X3)
d2Py / sy2 = 2b/(a+b) (I/Y3)
nos dan la información que dichas curvas son cóncavas hacia arriba
Autor: O. Jack Ocrospoma Huerta