Modelos

El modelo - Piero Sraffa

El modelo económico ideado por Sraffa se presenta mediante un sistema de N ecuaciones lineales simultáneas que representan el costo unitario de producción de cada uno de los N sectores productivos. Así, la ecuación de costo unitario de producción para la mercancía i-ésima vendrá dada por la siguiente expresión:

donde,

a_ji: cantidad (en unidades físicas) de la mercancía “j” (j = 1,2, ..., N) que se requiere para producir una unidad de mercancía “i” (i = 1,2, ..., N).

l_i: cantidad de trabajo de calidad homogénea que es necesaria para producir una unidad de mercancía “i” (i = 1,2, ..., N).

p_j: precio nominal (natural) de la mercancía “j” (j = 1,2, ..., N).

w: salario nominal uniforme; como se esbozara anteriormente, se supone homogeneidad en la fuerza laboral.

r: tasa media de beneficio; se supone que cada sector obtiene la rentabilidad media del sistema.

De esta forma, el precio natural del producto vendrá determinado por cada una de la siguientes componentes:

- Costo por insumo de mercancías: .

- Costo por insumo de trabajo: .

- Costos en concepto de beneficios por unidad: .

Dado el supuesto de existencia de capital variable y de pago de salarios post factum, el monto que se necesita para emprender una actividad productiva determinada viene dado por el necesario para cubrir el costo por el insumo de las mercancías requeridas por el proceso productivo de la industria seleccionada.

Así, se concibe a la economía como un conjunto de sectores productivos técnicamente interdependientes, que producen cierto valor de producto neto mediante el empleo de fuerza de trabajo y mercancías (no se considera la existencia de un acervo inicial). De esta forma, la economía, compuesta por N mercancías producidas por N industrias diferentes, puede representarse matricialmente de la siguiente manera:

(1)

La matriz de requerimiento técnicos insumo-producto para valores específicos de estos a_ji define la tecnología de la economía, entendida como el conjunto de métodos de producción particulares que permite técnicamente producir N mercancías. Ahora bien, si existen m_i (i = 1, 2, ..., N) técnicas de producción para cada una de las N mercancías, cada una de las cuales viene definida por un vector de coeficientes de insumos de dimensión N+1 (N mercancías más la mano de obra), tendremos m! tecnologías factibles, donde este conjunto de tecnologías posibles define el estado de conocimiento técnico para la economía en su conjunto. Estas consideraciones jugarán un papel fundamental al analizar el fenómeno de la reversión del capital (reswitching) en la sección IV.c del trabajo. Es importante notar aquí que la ausencia del supuesto de rendimientos constantes a escala se manifestaría en una matriz de coeficientes técnicos variable, la cual iría modificándose con la escala de producción.

De esta forma queda conformado un sistema de N ecuaciones con N+2 incógnitas: los “N” precios nominales de las N mercancías; el nivel de salario nominal “w”; y la tasa de beneficio sobre el capital variable “r”. Siguiendo nuevamente a Monza (1985), se puede lograr la determinación del sistema (requerimiento necesario para su resolución) de 5 formas alternativas según sea la teoría económica que se considere. De este modo, cada una de ellas sustentará un cierre diferente:

i. Una primera posibilidad es la de normalizar el sistema en términos del salario monetario (w). Este cierre se basa en la noción smithiana de valor trabajo, inhibiendo las discusiones sobre cuestiones distributivas.

ii. Puede introducirse una ecuación adicional con alguna mercancía producida que desarrolle el rol del dinero, como podría ser el caso de algún metal, por ejemplo. En este caso se levantaría el supuesto “e” anteriormente enunciado.

iii. Adoptando el criterio neoclásico, se puede asumir una mercancía existente en el sistema como numerario; es decir, se expresan todas las demás magnitudes en términos de cantidades físicas de dicha mercancía, lo que se logra multiplicando todo el sistema por la inversa de su precio.

iv. Dentro de los cierres propios de Sraffa, existe una primera posibilidad que consiste en hacer el valor del producto neto igual a la unidad. Donde, el valor del producto neto del sistema surgirá del producto de su precio y un factor físico que es el resultado de una suma de N términos, constituido cada uno de ellos como la diferencia entre el producto total físico de cada uno de los N sectores y la cantidad de insumos que ha utilizado en el proceso productivo. Esta es una manera particular de fijar el nivel de precios de la economía.

v. Finalmente, existe una segunda posibilidad adoptada por Sraffa, la cual consiste en la introducción de una mercancía ideal, entendida la misma como un conjunto de mercancías, que tiene la particularidad de ser construida de tal forma que su valor permanece invariante. De esta forma se puede expresar el sistema en términos de dicha mercancía utilizándola como numerario de la economía. El concepto de mercancía patrón se tratará en la siguiente sección.

Esta construcción de Sraffa se utilizará seguidamente para analizar la visión del autor en dos cuestiones de gran importancia: la resolución del problema del valor y la teoría del capital.

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Modelo de Solow

El modelo de Solow es un modelo de crecimiento económico que analiza la relación entre la tasa de ahorro de una economía y su nivel de ingreso en el largo plazo. La idea subyacente en el modelo es que aquellos países que ahorran una proporción mas elevada de su producto bruto, acumularán un mayor nivel de capital por trabajador, con esto se alcanzan mayores niveles de ingreso per cápita.

El modelo supone la existencia de una función de producción con rendimientos constantes a escala, de manera que la producción ( Y ) en el período “ t ” se ve determinada por una relación entre el capital ( K ) y el trabajo ( L ) existente en dicho período:

Se supone que la población crece a una tasa exógena, de manera que: .

El producto es usado para inversión y consumo, entonces:

Por simplicidad, Solow asume que la tasa de ahorro es constante a lo largo del tiempo, luego:

Por último, la trayectoria del capital se constituye con la siguiente ecuación en diferencias de primer orden:

Aprovechando la propiedad de rendimientos constantes a escala en la función de producción, el modelo puede escribirse en forma intensiva dividiendo las ecuaciones (1) a (4) por la cantidad de trabajo empleado en el período ( L t ). De esta forma se obtiene el sistema que describe la dinámica de las variables hacia equilibrio de largo plazo:

El estado estacionario de esta economía se define como la solución del sistema (1´) a (4´), cuando todas las variables permanecen constantes. Es decir que se verificará que:

A partir de (6) se deriva el valor de equilibrio del capital per cápita en el modelo, a través de la función de producción (1´) se obtiene el valor del ingreso de equilibrio a largo plazo. A continuación y de (3´) se obtiene el valor de equilibrio para la inversión, y finalmente de (2´) se obtiene el valor del consumo per cápita en estado estacionario.

Estas variables permanecen constantes a niveles per cápita, luego en valores de nivel crecen a la misma tasa a la que lo hace la población.

La tasa de cambio en el capital per cápita está representada por:

Usando la ecuación (5) se puede observar que:

Por lo tanto una vez alcanzado el estado estacionario el capital per cápita se mantendrá constante al igual que el resto de las variables per cápita en el modelo. Por último, la trayectoria del capital (y por ende de todas las variables) es convergente de acuerdo a las desigualdades planteadas en el sistema (8).

Para describir el fenómeno de convergencia absoluta, se debe analizar la tasa de crecimiento del capital en su transición hacia el estado estacionario, para ello se analiza la derivada primera de la ecuación (7):

En consecuencia, la tasa de crecimiento del capital por trabajador (en valor absoluto) disminuye conforme el nivel de capital per cápita se acerca a su estado estacionario.

De igual manera se puede determinar que la tasa de crecimiento del producto per cápita disminuye conforme el nivel de PBI pc se acerca a su estado estacionario.

En otras palabras, si dos economías poseen el mismo estado estacionario pero diferentes niveles iniciales de capital y de producto, la economía más pobre crecerá a una tasa superior que la rica, a este fenómeno se lo conoce en la literatura como CONVERGENCIA ABSOLUTA .

Ahora bien, si dos economías poseen diferentes estados estacionarios, lo único que se puede afirmar es que la economía que se encuentre más lejos de su estado estacionario será la que crecerá más rápido. A esta propiedad se la conoce como CONVERGENCIA CONDICIONAL .

En términos matemáticos esta propiedad implica homogeneidad lineal en la función de producción.

El conjunto de parámetros que determinan el equilibrio de largo plazo (tasa de ahorro, preferencias, participación sectorial de los factores, etc.) es idéntico entre ambas economías.

Experimento Computacional - Trayectoria para Tasas impositivas al Capital

Comenzaremos analizando la trayectoria de la economía hacia su estado estacionario con cada una de las tasas impositivas al capital tomadas en la calibración:

Como puede observarse en el diagrama de fases, el capital y el consumo tienden a sus valores de estado estacionarios; y cuando la alícuota es menor, el valor final de las variables es más grande.

Esto último queda confirmado en este gráfico, donde también se plasma que la velocidad de convergencia es independiente del valor de la alícuota para el capital. Una trayectoria idéntica tiene la variable ingreso; cuyo gráfico se omite para no extender demasiado el tamaño del trabajo.

Se destaca que el consumo de estado estacionario es similar al margen del monto de la alícuota al capital; sin embargo cuanto mayor sea esta alícuota, la trayectoria del consumo hacia el estado estacionario estará más por encima de otras trayectorias con menores alícuotas.

La inversión crece en el primer momento y luego desciende a tasas decrecientes hasta su valor de estado estacionario. Mientras menor sea la tasa impositiva al capital, mayor será la inversión de equilibrio en estado estacionario.

Equilibrio General Competitivo

i) Problema de las Familias

Resolviendo a través de Lagrange:

Condición de Primer Orden:

Utilizando (1) y (2)

(6) y (7) en (3)

Donde esta última ecuación nos da la pauta de evolución del consumo a través de los períodos; al tiempo que servirá posteriormente como determinante del stock de capital en estado estacionario.

De (4) y (5) obtenemos el consumo como función del capital:

ii) Problema de las Firmas

Por sustitución

Condición de Primer Orden:

Donde puede observarse que la retribución al capital es igual a la productividad marginal del capital per cápita; mientras que la retribución al trabajo es un residuo entre el valor del producto (cuyo precio se normalizó) per cápita y el gasto total per cápita en capital.

Reuniendo los resultados obtenidos hasta aquí en el problema de las familias, las firmas y la restricción del gobierno:

Resolviendo obtenemos:

Experimento Computacional en un Modelo de Equilibrio General con Gobierno

Trabajo presentado para la Cátedra de Política Fiscal.

“Facultad de Ciencias Económicas”

Universidad Nacional de Córdoba.

Realizado por:

Martos Gabriel

gabrielmartos@educ.ar

Este trabajo se realizó en base a un paper escrito conjuntamente por el autor con Castroff Carolina y María Victoria Sarjanovich como coautoras; todos los errores y omisiones son responsabilidad del autor.

El presente trabajo tiene como objetivo hacer un análisis de estática comparativa, con respecto a los múltiples efectos que tienen los impuestos dentro de una economía.

Para llevar a cabo este cometido, se desarrolla un modelo de crecimiento Neoclásico (de Ramsey), en donde se introduce un “gobierno”. Se obtienen inicialmente las condiciones de equilibrio dentro del modelo para luego experimentar como evolucionan las variables reales ante cambios de las alícutas impositivas.

El proceso utilizado para cuantificar las variables ex - ante y ex - post cambio de la política tributaria se enmarcan en la simulación.

Se utilizan programas creados en Matlab, con el fin de darle vida a esta economía de “laboratorio”; y se calibran los parámetros de acuerdo a los datos de la realidad Argentina. En función de ello se obtienen los efectos de política económica sobre las variables relevantes.

Se analizan dentro de este trabajo los efectos de las diferentes tasas sobre la distribución del ingreso y sobre la recaudación pública en busca de cuantificar la magnitud de las alícuotas en donde la “Curva de Laffer” se torna con pendiente negativa.

El trabajo se organiza de la siguiente manera: se comienza con la descripción del modelo; luego se derivan de manera analítica las condiciones de óptimo de cada uno de los agentes representativos.

Seguidamente se obtienen los valores de equilibrio (en estado estacionario) de las variables del modelo. Y se lleva a cabo una demostración, también analítica, de los efectos de un impuesto sobre las variables en el modelo.

A continuación, se desarrollan múltiples experimentos en MATLAB que nos permiten extender las conclusiones iniciales; al tiempo que posibilitan cuantificar los valores de las variables en equilibrio.

Por último se expresan las conclusiones, en donde se resumen todos los resultados obtenidos a lo largo del trabajo.

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