Función de Producción

Elasticidad de Producción Cobb-Douglas

Para calcular la elasticidad de producción de una función de producción Cobb-Douglas, debemos derivar la función de producción con respecto a un factor de producción, como el trabajo (L) o el capital (K).

Por definición general, la elasticidad de producción con respeto al trabajo es:

(∂Q/Q) / (∂L/L) [1]

Lo cual equivale a:

= (∂Q/∂L) / (Q/L) [2]

La primer parte de la ecuación [2] (el dividendo) es igual al producto marginal del trabajo. La segunda parte de la ecuación (el divisor) es igual al producto medio del trabajo.

En el caso de la función de producción Cobb-Douglas, la elasticidad de producción se puede obtener muy fácilmente. A continuación veremos porque:

La forma de la función de producción Cobb-Douglas es: Q(L,K) = A L^β K^α .

Aplicando esto a la fórmula [2]:

= [ Aβ L^(β-1) K^α ] / [ A L^β K^α / L ] [3]

lo que equivale a:

= [ Aβ L^(β-1) K^α ] / [ A L^(β-1) K^α ] [4]

Simplificando, esto es igual a β.

Entonces, la elasticidad de producción de una función de producción Cobb Douglas con respecto al trabajo es β. De forma similar, con respecto al capital es α.

Función de Producción Linear

La función de producción linear es la mas simple de las funciones de producción: describe una relación linear entre los insumos y el producto.

Sólo un factor de producción

Si la función tiene sólo un factor, la misma se puede representar utilizando la siguiente fórmula:

y = a x

Por ejemplo, si un carpintero puede producir 10 sillas por día, la función de producción será:

Q = 10 L

Esta función de producción se puede representar utilizando el siguiente gráfico:

El coeficiente 10 representa la productividad del trabajo. Si el trabajador aumenta su productividad, porque tomó un curso para producir sillas mas eficientemente, por ejemplo, este coeficiente aumentará y la pendiente de la función de producción será mas elevada.

Múltiples factores de producción

Si la función de producción tiene mas de un factor, se puede representar de la siguiente manera:

y = a1 x1 + … + an xn

Si visualización es la siguiente:

Isocuanta

Considerando una función de producción de la siguiente forma:

Q = K + L

La misma tiene la siguiente isoquanta:

Elasticidad de sustitución

Podemos ver que la isocuanta es una linea recta, lo cual nos indica que los factores son sustitutos perfectos: manteniendo el mismo nivel de producción, pueden ser sustituídos unos por otros a una tasa que se mantiene constante en todo el rango.

La elasticidad de sustitución es una medida de cuán fácilmente puede un factor ses sustituido por otro. Matemáticamente, se define como el porcentaje del cambio en la proporción de los factores, dividido el cambio en la tasa marginal de sustitución técnica (TMST).

Para entender la misma en el caso de la función de producción linear, por favor observa el siguiente gráfico:

En el punto a, la pendiente de la tangente mide la TMST, es decir, cuánto L se puede disminuir ante un aumento infinitesimal de K, para que la producción se mantenga constante. Si nos movemos al punto b, la TMST aumenta.

La relación K/L se puede ver como la pendiente del rayo que va desde la ordenada de origen hasta el punto de la isocuanta en cuestión.

La TMST mide la relación entre el cambio en K/L y el cambio en la TMST.

Si la isocuanta es muy curva o cóncava, el cambio en la TMST es grande en relación al cambio en K/L: la elasticidad de sustitución es menor.

En el caso de la función de producción linear, la TMST se mantiene constante (el denominador de la fórmula de la elasticidad de sustitución es cero).

El cambio en K/L no es cero. Entonces, la elasticidad de sustitución es ∞.

Retornos a escala

Los retornos a escala miden la cuánto aumenta la producción, ante un cambio proporcional de todos los factores.

- Si el aumento es mas que proporcional, los retornos a escala son crecientes.

- Si el aumento es menos que proporcional, los retornos a escala son decrecientes.

- Si el cambio es proporcional, los retornos a escala son constantes.

La función de producción linear tiene retornos a escala constantes.

Para probar esta afirmación, multiplicamos todos los insumos por un factor c. Y’ representa el nuevo nivel de producción.

Y = aK + bL

Y’ = a (cK) + b (cL)

= c (aK + bL)

= c Y

Si todos los insumos aumentan en una proporción c, el prodcuto aumenta en c: la función de producción linear tiene retornos a escala constantes.

Ejemplos de función de producción linear:

- Un trabajador que produce 200 pizzas por día: Y = 200L

- Un carpintero que produce 10 sillas por día Y = 10L

- Un carpintero que produce 10 sillas por día y un robot que produce 20 sillas por día: Y = 10L + 20R

- Discos duros que almacenan 500GB y discos duros que almacenan 1000GB. La función de producción de capacidad de almacenamiento de datos es: Y = 500GB * A + 1000GB * B

Ejemplos de Función de Producción

1- Función de Producción Linear

Q=aL

Se trata de una función de producción con un sólo factor. Por ejemplo, si un carpintero puede producir 10 sillar por día, la función de producción será:

Q=10*L

El gráfico de esta función de producción es:

2- Función de Producción con rendimientos decrecientes

En este caso, la producción aumenta a medida que se suman trabajadores, pero aumenta cada vez menos.

Q=10*L

Por ejemplo, si el primer carpintero produce 10 sillas, el segundo 9, el tercero 8 y así sucesivamente.

Este ejemplo de función de producción se puede representar con la siguiente fórmula:

Q=10*L^0.9

El gráfico es el siguiente (la línea azul representa la función de producción con rendimientos decrecientes).

3- Función de producción con múltiples factores

Podemos tener en cuenta que la producción requiere mas de un factor:

3.1- Función de producción con 2 factores de producción:

Q = a*L^b * K^c 0

En este caso, tenemos trabajo y capital como factores de producción. Este tipo de función de producción se denomina Cobb-Douglas, y su gráfico es el siguiente:

3.2- Función de producción con mas de 2 factores de producción

Q = a * F1^a1 * F2^a2 * F3^a3 * ... * Fn^an

Ejemplo:

Si incorporamos a una sierra como factor de producción en nuestra carpintería, la función de producción puede ser:

Q = 10 * L^0.5 * K^0.6

4- Función de producción de proporciones fijas

En este caso, son necesarios ambos factores en una determinada proporción, para lograr cierta cantidad de producción. Si, a partir de la proporción determinada, aumentamos un solo factor sin modificar el otro, la producción no aumenta.

Por ejemplo, si en nuestra carpintería es necesaria una sierra por carpintero. Si agregamos sierras sin carpinteros o carpinteros sin sierras, la producción no variará.

Esta función de producción se puede representar mediante la siguiente fórmula:

min{aL,bK}

En el caso de la carpintería:

min{L,K}

Donde L representa el número de carpinteros y K el número de sierras.

El gráfico de la función de producción de proporciones fijas es el siguiente:

5- Sustitutos Perfectos

En el caso de factores que son sustitutos perfectos, un factor de producción puede ser sustituido por otro sin que varíe la cantidad producida.

La fórmula para la función de producción cuando dos factores son sustitutos perfectos es:

Q = a*F1 + a*F2

En ese ejemplo, la cantidad producida por cada factor es similar, pero puede suceder que un factor produzca mas que otro:

Q = a*F1 + b*F2

Si b>a, F2 es mas productivo que F1.

Por ejemplo, si en nuestra carpintería tenemos la posibilidad de comprar robots que pueden producir 20 sillas por día, mientras que un carpintero puede producir 10 sillas por día, la función de producción de sillas diarias es:

Q = 10*L + 20*R L:cantidad de carpinteros R: cantidad de robots.

El gráfico de esta función de producción es:

Función de Producción Cobb-Douglas

En economía, una función de producción representa la relación que existe entre la cantidad producida en un proceso productivo y la cantidad de insumos utilizados en ese proceso. Entonces tenemos que:

Q=f(L,K)

Donde Q es la cantidad de producto y L y K la cantidad de factores utilizados, por ejemplo, trabajo y capital.

La función de producción Cobb-Douglas es un tipo de función de producción ampliamente utilizada, debido a que, como veremos mas adelante, cumple con ciertas condiciones que hacen que sea muy útil.

La forma de la función de producción Cobb-Douglas es la siguiente:

Q(K,L) = A L^β K^α

Donde:

- Q es la cantidad de productos

- L la cantidad de trabajo, por ejemplo, valor de horas de trabajo anual

- K la cantidad de capital, por ejemplo, valor de horas de trabajo de la maquinaria

- A,β y α son constantes positivas

- β y α son menores que 1

Gráficamente

Productividad Marginal

La productividad marginal es el cambio en la producción, ante cambios en la cantidad de insumos. La productividad marginal es la derivada primera de la función de producción respecto a algún insumo:

∂Q/∂L

En el caso de la función de producción Cobb-Douglas

∂Q/∂L = Aβ L^(β-1) K^α

Vemos que si L o K se incrementan, también lo hará la cantidad de producción. Esto significa que el rendimiento marginal de los insumos es positivo. La productividad marginal es positiva.

Gráficamente

Producto de L (K está fijo)

Producto Marginal de L

Elasticidad de la Producción

La elasticidad de la producción mide la variación porcentual de la producción ante cambios en la cantidad de insumos utilizados.

(∂Q/Q) / (∂L/L) = (∂Q/∂L) / (Q/L)

Si la elasticidad es mayor que uno, la función de producción es elástica y viceversa. En el caso de la función de producción Cobb-Douglas, la elasticidad de la producción se puede medir fácilmente:

(∂Q/Q) / (∂L/L) = (∂Q/∂L) / (Q/L)

= [ Aβ L^(β-1) K^α ] / [ A L^β K^α / L ]

= [ Aβ L^(β-1) K^α ] / [ A L^(β-1) K^α ]

= β

Esto significa que la elasticidad de la producción respecto al trabajo es β. Este valor es constante. Si β es igual a 0.20 y el trabajo se incrementa en un 10%, la producción aumentará en un 2%.

De forma similar, puedes verificar que la elasticidad de la producción respecto al capital es α.

Retornos a Escala

Mide la variación en la producción ante cambios similares en la cantidad de trabajo y capital. Todos los factores se incrementan en la misma proporción. Si, ante un cambio proporcional en todos los insumos, la producción aumenta mas que proporcionalmente, hablamos de retornos crecientes a escala, y si aumenta menos que proporcionalmente, hablamos de retornos decrecientes a escala.

En el caso de la función de producción Cobb-Douglas, multiplicamos la cantidad de insumos por una constante c que mide la variación de los insumos. Y' representa el nuevo nivel de producción:

Y' = A (cL)^β (cK)^α

= A c^β L^β c^α K^α

= A c^(β + α) L^β K^α

= c^(β+α) Y

Vemos que, ante un cambio de c en la cantidad de factores utilizados, la producción se incrementa en c^(β+α).

Entonces:

Si:

(β+α) = 1 ; la función de producción tendrá retornos a escala constantes

(β+α) > 1 ; la función de producción tendrá retornos a escala crecientes

(β+α) < 1 ; la función de producción tendrá retornos a escala decrecientes

Resumiendo:

La función de producción Cobb-Douglas tiene:

- productividad marginal positiva decreciente

- elasticidad de producción constante e igual a β para el trabajo y α para el capital

- rendimientos marginales decrecientes.

- retornos a escala constantes, que dependen de la suma (β+α)

Autor: Lic. Federico Anzil

Producto Total, Medio y Marginal

Las empresas utilizan factores de producción o insumos, para elaborar productos y ofrecer servicios. Una función de producción describe una relación entre la cantidad de uno o varios insumos, y la cantidad producida, dada una determinada tecnología.

Cuando una función de producción se expresa con una fórmula matemática, generalmente se trata de modelos o construcciones teóricas, que nos permiten analizar situaciones y extraer conclusiones generales, a pesar de que se trate de una construcción teórica.

Un ejemplo de una función de producción puede ser el siguiente:

Q = L^0.6 K^0.4

Donde:

- Q es la cantidad producida

- T es la cantidad de horas hombre insumidas en la producción

- K es la cantidad de capital aplicado a la producción

Producto Total

El Producto Total es simplemente la cantidad de bienes producidos por todos los trabajadores e insumos aplicados a la producción.

Gráficamente:

Producto Total = Cantidad de Bienes Producidos

Si fijamos el valor de uno de los dos insumos, por ejemplo, el capital en 50, podemos obtener el siguiente gráfico:

Esto equivaldría a "cortar" el primer gráfico en 3 dimensiones, en una recta paralela al eje "K", en el valor de 50 unidades de capital.

Esta situación, en la que uno de los factores se encuentra fijo, se denomina "de corto plazo", porque se supone que en el largo plazo, la cantidad de todos los factores es variable, mientras que en el corto plazo hay ciertos factores de producción que no se pueden modificar. Usualmente se considera al trabajo como variable en el corto plazo, mientras que el capital es sólo variable en el largo plazo.

Producto Medio

El producto medio se define como la cantidad promedio producida, por cada unidad de un determinado factor. Si este factor es el trabajo, es producto medio es el promedio producido por cada trabajador. Para obtener el producto medio debemos dividir el producto total, por la cantidad utilizada del factor.

Producto Medio = Cantidad de Bienes Producidos / Cantidad del Factor Utilizada

En nuesto ejemplo, si K=50 y L=10, el producto total es:

Q = L^0.6 K^0.4

Q = 10^0.6 50^0.4 = 19.04

En este caso, el producto medio del trabajo es 19.04 / 10 = 1.904 , es decir, que cada trabajador produce en promedio 1.904 unidades del bien.

Gráficamente:

Producto Marginal

El producto marginal se define como el aumento del producto total, cuando se aumenta la cantidad utilizada de un insumo en una unidad.

Matemáticamente se puede describir de dos formas:

a) Cuando el análisis es discreto, se describe matemáticamente de la siguiente forma:

Producto Marginal = ΔQ / ΔL

b) Si el análisis es infinitesimal, se describe como:

Producto Marginal = dQ / dL

En nuestro caso, derivamos Q con respecto a L y obtenemos:

dQ/dL = 0.6 L^-0.4 K^0.4

Gráficamente:

El gráfico nos muestra en la linea roja, el producto medio del trabajo, y en la linea verde, el producto marginal del trabajo.

Veamos un ejemplo numérico:

Producto Total .	Horas de Trabajo	Producto Medio	Producto Marginal
0	0
10	17	0.59	0.59
20	28	0.71	0.91
30	35	0.86	1.43
40	40	1.00	2.00
50	45	1.11	2.00
60	52	1.15	1.43
70	63	1.11	0.91
80	80	1.00	0.59
90	105	0.86	0.40
100	140	0.71	0.29

Producto Total .

Horas de Trabajo

Producto Medio

Producto Marginal

0.59

0.71

0.91

0.86

1.43

1.00

2.00

1.11

2.00

1.15

1.43

1.11

0.91

1.00

0.59

105

0.86

0.40

100

140

0.71

0.29

La linea verde nos muestra el producto marginal del trabajo y la azul, el producto medio del trabajo.

Análisis Gráfico

Como dijimos anteriormente, el producto medio, es la cantidad total producida dividida por la cantidad de trabajo. En el gráfico, podemos ver esto como la altura de la función en un punto, o la distancia de ese punto al eje "X", dividida la distancia de ese punto al eje "Y". Si trazamos un rayo que va desde el punto (0,0) hasta un punto sobre la función de producción, la pendiente de ese rayo, será la altura del punto dividida la distancia del punto al eje "X", es decir, la pendiente del rayo es el producto medio.

Si trazamos una recta tangente en la función de producción, la pendiente de esa recta será la derivada parcial de la función de producción con respecto al insumo, es decir, la pendiente de la recta tangente a la función de producción es la productividad marginal del insumo en cuestión.

Relación entre producto total, medio y marginal

En el punto A, la pendiente de la función de producción es superior a la pendiente del rayo. La productividad marginal es superior a la productividad media.

En el punto B, ambas pendientes son iguales: la productividad marginal es igual a la productividad media. A partir del punto B, la productividad marginal es inferior a la productividad media: la productividad media comienza a descender.

En el punto C, la pendiente de la función de producción es cero: la productividad marginal es cero. A partir del punto C, la productividad marginal es negativa: el producto total comienza a descender.

Etapas de Producción

Las etapas de producción son tres niveles de utilización de un insumo que se diferencian por el comportamiento del producto y el costo marginal y medio, mientras los otros insumos se mantienen fijos. Etapa 1: ambos crecen. Etapa 2: solo el PME crece. Etapa 3: El PMG es negativo.

Las etapas de producción son las siguientes:

Etapa 1: Aumentan el producto medio y el producto marginal, a medida que aumenta el uso de un insumo.

Etapa 2: Disminuyen el producto medio y el producto marginal, siendo ambos positivos.

Etapa 3: El producto medio es decreciente y el producto marginal es negativo.

Es este artículo desarrollaremos a fondo las tres etapas de producción. Para comprenderlas, tienes que saber sobre la función de producción y el costo medio y marginal. Si necesitas refrescar tus conocimientos sobre estos, visita los siguientes enlaces:

- El Producto Medio y el Producto Marginal

- La Función de Producción

La Función de Producción

Las empresas utilizan factores de producción para obtener un producto. Los factores de producción se denominan inputs, mientra que el producto se denomina output.

La función de producción, describe la relación que existe entre la cantidad de insumos y la cantidad de producto. La función de producción que la tecnología se mantiene fija, es decir, la tecnología es externa al modelo.

La relación definida por la función de producción, se puede visualizar poniendo en el eje Y la cantidad producida, y en el eje X la cantidad utilizada de un insumo.

Este análisis se denomina “de corto plazo”, porque en el largo plazo puede variar la cantidad de todos los insumos, mientras que en el corto plazo, hay sólo algunos insumos que se pueden modificar. Usualmente se supone que el trabajo es variable en el corto plazo mientras que el capital y la tierra son fijos.

Por ejemplo, supongamos que un establecimiento agrícola usa como insumos tierra y trabajo.

Etapa I

Recordemos que para este análisis mantenemos fija la cantidad de tierra o capital, y variable el trabajo.

En una situación donde no hay trabajadores la producción es cero. A medida que se incorporan trabajadores, la producción aumenta. Pensemos que, en el comienzo, un solo trabajador debe realizar muchas tareas sin especializarse en ninguna, como mantener las herramientas, cosechar, cargar la cosecha en un camión, transportar, etc.

A medida que se van agregando mas trabajadores, estos se van especializando en tareas para las que son mas capaces. Comienza a operar la división del trabajo. Algunos se especializan en cosechar, otros en mantener las herramientas, otros en transportar la mercadería. Es por esto que la producción aumenta rápidamente. Por ejemplo, 20 trabajadores podrían producir mas que el doble de lo que producen 10 trabajadores. Es decir, el promedio producido por cada trabajador aumenta

Etapa II

Sin embargo, llega un punto en el que mas trabajadores siguen aportando a la producción, pero cada vez menos. Algunos deben esperar que otros dejen de utilizar alguna herramienta para comenzar a trabajar, otros se comienzan a estorbar entre sí, etc. Recordemos que la tierra y el resto de los insumos (herramientas, etc.), se mantienen constantes.

De este modo, llega un momento en el que el promedio de los que produce cada trabajador, disminuye. Por ejemplo, si 20 trabajadores producían 20.000 kilos de papas en una hectárea, puede suceder que 40 trabajadores produzcan 35.000 kilos de papas en la misma tierra y con las mismas herramientas. Es decir, que con 20 trabajadores, cada uno producía en promedio 1.000 kilos, y con 40 trabajadores, cada uno produce 875 kilos en lugar de 1.000 .

Etapa III

Si se siguen incorporando trabajadores a la misma hectárea, llegará un punto en el que los trabajadores se estorbarán tanto entre sí, que la producción total disminuirá.

Las distintas etapas se pueden analizar fácilmente desde el punto de vista matemático.

Costo Medio CMe

Es el producto total divido la cantidad del insumo en cuestión.

Costo Marginal

Es la variación del producto total, cuando se modifica la cantidad del insumo en una unidad, o bien, en términos de cálculo diferencia, la derivada parcial de la función de producción con respecto al insumo

La primer etapa de producción, etapa I, se caracteriza porque el producto medio (PMe) es creciente. El producto marginal (PMa) es superior al producto medio (PMe): PMa > PMe .

La segunda etapa de producción, etapa II, se caracteriza porque el producto medio es decreciente, el producto marginal es inferior al producto medio (PMa < PMe), pero el producto marginal sigue siendo positivo. (PMa > 0).

La tercera etapa de producción, etapa III, se caracteriza porque el producto marginal es negativo. (PMa < 0). Es decir, que cada unidad adicional de insumo, en lugar de aumentar la producción total, la disminuye. El producto medio se mantiene positivo, pero tiene pendiente negativa.

etapa

Pme

Pmg

Pme y Pmg

Creciente

Pme < Pmg

Decreciente

Pme > Pmg

III

Decreciente

Negativo

Pme > Pmg

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Función de Producción

En microeconomía, la función de producción es la relación existente entre los factores o insumos utilizados en un proceso productivo (inputs), y el producto obtenido (outputs), dada una cierta tecnología. La función de producción asocia a cada conjunto de insumos (servicios de los factores por período) el máximo nivel de producción por período alcanzable de acuerdo a las posibilidades técnicas.

¿Qué significa producción?

La producción se puede definir como cualquier utilización de recursos que permita transformar uno o mas bienes en otro(s) diferente(s). Los bienes pueden ser diferentes en términos de ciertas características físicas de los mismos, de su ubicación geográfica o de su ubicación temporal. Por ejemplo, es producción trasformar leche en queso (distintas características físicas), pero también es producción transportar queso desde Francia hasta Estados Unidos (distinta ubicación geográfica), y también es producción en el sentido amplio que le estamos dando en este artículo, mantener ese queso francés desde el mes de enero hasta el mes de marzo (distinta ubicación temporal).

La producción incluye tanto a bienes como servicios, el término "bien" se refiere a ambos.

La producción es una variable flujo, que está medida en relación a un período de tiempo determinado. Así, se debe referir a la producción haciendo referencia a una medida del periodo; por ejemplo, la producción de kilos de queso por año. También, al analizar la función de producción del lado de los insumos, se habla en términos de flujo. Por ejemplo si nos referimos al trabajo, se hace referencia a cierta cantidad de horas de trabajo (no a la cantidad de hombres), el capital se puede medir en horas de servicio de la maquinaria (no en cantidad de máquinas) y la tierra puede medir en hectáreas por año (no en cantidad de hectáreas).

Insumos en la Función de Producción

Usualmente se agrupa a los insumos en capital y trabajo. Estos son sólo categorías creadas para simplificar en análisis, pueden agrupar a un gran número de insumos con características diferentes, por ejemplo, el trabajo puede agrupar a mano de obra calificada junto con mano de obra no calificada. Sin embargo, para ciertos análisis puede ser conveniente disgregar entre otras categorías de insumos: el trabajo se puede dividir en mano de obra calificada, no calificada, personal contable, personal administrativo, etc.; y el capital se puede dividir en distinto tipo de maquinaria, construcciones, mobiliario, capital humano, activos intangibles, etc..

Adicionalmente, se pueden utilizar otros criterios para agrupar los insumos de producción; por ejemplo se pueden dividir entre insumos fijos e insumos variables: los insumos fijos no pueden ser modificados en el corto plazo, los variables sí. ¿Qué es el corto y el largo plazo? En el largo plazo todos los insumos de la función de producción son variables, mientras que en el corto plazo hay insumos que no se pueden modificar, por ejemplo, una fábrica de autopartes no puede cambiar su maquinaria entre un mes y otro, o una petrolera no puede instalar un nuevo pozo sino luego de un cierto período de tiempo.

Función de Producción

La función de producción es la relación entre el producto físico y los insumos físicos. Esta relación establece la máxima cantidad de producto que puede obtenerse con cada combinación posible de insumos, dada una tecnología o técnicas de producción. Esta relación es usualmente expresada mediante una fórmula matemática.

Mas formalmente, la función de producción se define como la envolvente del conjunto posible de combinaciones de insumos técnicamente eficientes.

Si se agrupan los insumos en capital y trabajo, la función de producción se describe por la ecuación:

Q = f (K,L)

donde:

Q es la cantidad de producción por período de tiempo

K es el flujo de servicios del stock capital por período de tiempo

L es el flujo de servicios de los trabajadores por período de tiempo

Es importante darse cuenta que la función de producción expresa sólo relaciones físicas entre los insumos y el producto, no indica sobre los precios de los insumos o productos.

Varios productos

Aunque usualmente se supone que el producto es uno solo, y esta situación se presenta usualmente en la realidad, nada impide que pueda existir una situación con varios productos (outputs).

Expresado en fórmula matemática:

Q₁, Q₂, Q₃, ... , Q_n = f (I₁, I₂, I₃, ... , I_n )

Donde P₁...P_n son los productos obtenidos por un proceso productivo, e I1...In son los insumos utilizados en la producción. La relación entre el vector de insumos y el vector de productos estará determinada por la función de producción.

Usualmente se supone que el producto obtenido es uno solo, en este caso la relación se puede expresar como:

Q = f (I₁, I₂, ... , I_n)

Bibliografía:

Fernández de Castro, F. y Tugores, J. (1997) "Microeconomía"

Miller, R. y Meiners, R. (1990) "Microeconomía"

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Rendimientos de Escala

Los rendimientos de escala expresan cómo varía la cantidad producida por una empresa a medida que varía el uso de todos los factores que intervienen en el proceso de producción en la misma proporción.

No se deben confundir los rendimientos a escala con el producto marginal de un factor. El producto marginal se obtiene modificando un solo factor de producción, mientras que los rendimientos a escala se obtienen modificando todos los factores de producción.

Rendimientos Constantes a Escala

Cuando variando en una proporción determinada la cantidad de factores utilizada, la cantidad producida varía en la misma proporción.

Este fenómeno se expresa matemáticamente del siguiente modo:

kf(x₁, x₂)=f(kx₁,kx₂)

En donde f(.) es la función de producción y x₁ y x₂son los factores de producción.

Ejemplo: Función de Producción Cobb-Douglas:

f(K,L)= K^1/2L^1/2

Si se duplica la cantidad de factores utilizada:

f(2K,2L)= (2K)^1/2(2L)^1/2= 2^1/2K^1/22^1/2L^1/2= 2K^1/2L^1/2

Entonces f(2K,2L)= 2K^1/2L^1/2

El fenómeno de los rendimientos constantes no es tan improbable como puede parecer a primera vista, ya que una empresa puede hacer una réplica exacta de si misma. La “nueva” empresa, producirá exactamente lo mismo, de modo se utilizará el doble de factores de producción y se producirá el doble.

Rendimientos Crecientes a Escala

Suceden cuando multiplicando los factores de producción por una cantidad determinada t, se obtiene una cantidad producida mayor a t.

Esto se puede expresar matemáticamente a través de la siguiente ecuación:

f(kx₁,kx₂)> kf(x₁, x₂)

Un caso de tecnología que presenta rendimientos crecientes a escala es un oleoducto. La “producción” de un oleoducto es el petróleo que es posible transportar por el mismo. Si duplicamos la cantidad de materiales utilizada para la construcción del oleoducto, la cantidad de petróleo que puede transportar el oleoducto se multiplica por cuatro. Este es el caso también de un depósito de combustible. Normalmente un oleoducto no puede agrandarse indefinidamente, ya que terminará rompiéndose por su propio peso, o será necesario ensanchar las paredes. Y este fenómeno suele repetirse también en las empresas, ya que los rendimientos crecientes a escala suelen ocurrir en un intervalo de producción, pero cuando se sigue aumentando los factores de producción, los rendimientos a escala pueden dejar de ser crecientes.

Rendimientos decrecientes a escala

Ocurren cuando aumentando todos los factores de producción en la misma proporción, la cantidad producida aumenta en una proporción menor.

En términos matemáticos:

f(kx₁,kx₂)< kf(x₁, x₂)

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Conversor de Divisas