Lagrangiano con 2 Restricciones
Hola, gente! Quería plantearles un ejercicio de microeconomía, a ver qué opinan del mismo (los que conocen algo o los que disfrutan de estos temas). Tengo la solución (de catedra) pero, personalmente, me queda la duda de si no está mal formulado/planteado.
Dice así.
Un viajante de comercio debe desplazarse en tren desde A a B (unos 1000 km). Tiene la posibilidad de sacar el pasaje en primera o en segunda clase. Por una promoción que ofrece la compañia ferroviaria, cualquier pasajero puede hacer un trecho de viaje en primera clase y otro en segunda; es decir, no está obligado a hacer todo el trayecto en una sola clase.
El precio por km. recorrido en primera clase en $0,2 y el de segunda clase es de $0,05. El viajante cuenta con un presupuesto de $100 para viáticos, y tiene preferencia por hacerlo en primera clase.
a)¿Cuantos km podrá recorrer en primera clase y cuántos debera hacerlo en segunda clase, si esta dispuesto a gastar todo su presupuesto para llegar a destino?
"""Solucion
Dado que el viajante desea recorrer la mayor parte del trayecto en primera clase y su gasto total debe ser exactamente igual a $100, planteamos un problema de maximización con 2 restricciones.
Restricción 1: q1 + q2 = 1000
q1 = 1000 - q2
O sea que la cantidad de km recorrida en ambas clases deberá ser igual a 1000 km.
Restricción 2:
0,2*q1 + 0.05*q2 = 100
100 - 0,2*q1 - 0,05*q2 = 0
O sea, que el gasto en el recorrido total deberá ser igual a $100.
Siendo q1= cantidad de km recorridos en primera clase
q2= cantidad de km recorridos en segunda clase
Para maximizar q1 sujeto a las 2 Restricciones debemos armar un Lagrangiano:
L = q1 + ?*(100 - 0,2*q1 - 0,05*q2)
Ahora reemplazamos q1 por 1000 - q2 (por la primera restricción):
L = 1000 - q2 + ?*[100 - 0,2*(1000 - q2) - 0,05*q2]
Reordenando terminos obtenemos:
L = 1000 -q2 + ?*[0,15*q2 -100]
Condiciones de primer orden:
?L/?q2 = -1 + 0,15*? = 0
?L/?? = 0,15*q2 - 100 = 0
q2= 666,67
Reemplazamos en la primera restricción:
q1 = 1000 - 666,67
q1 = 666,67. """
Esa es la supuesta solucion (de la catedra).
Mis dudas son las siguientes:
1-si la primera restricción es una curva de indiferencia recta (para bienes sustitutos perfectos), y uno dibuja la restriccion presupuestaria y tambien esa curva de indiferencia, y observa la interseccion de ambas, esta se dara en el punto 333, 666... pero por ejemplo, si eso es un punto optimo, como se explica a la restriccion presupuestaria corta, osea, no es tangente a la curva de indiferencia (lo que contradiria una de las condiciones del optimo...a saber...que la razon de los precios relativos de ambos bienes, Px/Py, digamos sea igual a la pendiente de la curva de indiferencia.)
2-Por otro lado, el enunciado dice que el individuo tiene preferencia por uno de los dos bienes (primera clase, en el ejercicio puntual), pero por ejemplo, si la Restriccion 1 fuera una curva de indiferencia (recta, para bienes sustitutos perfectos), ello no estaria representando lo que dice el enunciado.
3-Por otro lado, si la funcion de utilidad es meramente q1, como se sugiere en la solucion de la catedra al formar el lagrangiano (dado que el primer termino despues del signo igual, es q1, representando a la funcion utilidad implicita en el Lagrangiano), surge la pregunta de si puede tener una tal curva de indiferencia recta (para bienes sustitutos perfectos), y tambien, y sino, ¿Cuál es la curva de indiferencia generica de tal funcion de utilidada?
4-Tambien, la siguiente: si uno calcula las derivadas parciales segundas (como para expresar la Condicion de segundo orden) del Lagrangiano del problema, no darian cero la mayoria, por lo cual el Hessiano seria cero, y por ende, el problema seria indeterminado con un punto de silla por solucion?
Aclaracion: curiosamente, la solucion de la catedra termina en la Condicion de Primer orden y despues dice (al final) "Nota: DAMOS POR SUPUESTO que complen la condicion de 2do orden para la existencia de un maximo" (las mayusculas son mias)
Muchas gracias, un saludo para todos, y alguien que me ayude a esclarecer esto y, eventualmente, desenmascarar a un impostor (jajaja). Adios.
